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梁的变形核算_

  发布时间:2021-09-09 11:43:02 来源:华体会最新充值 作者:华体会电子买球
  

  梁的变形剖析与 刚度问题 梁的位移剖析与刚度问题 上一章的剖析成果表明,在平面曲折的景象下, 上一章的剖析成果表明,在平面曲折的景象下,梁 的轴线将曲折成平面曲线。假如变形太大, 的轴线将曲折成平面曲线。假如变形太大,也会影响构 件正常作业。因而, 件正常作业。因而,对机器中的零件或部件以及土木匠 程中的结构构件规划时,除了满意强度要求外, 程中的结构构件规划时,除了满意强度要求外,还有必要 满意必定的刚度要求,即将其变形束缚在必定的范围内。 满意必定的刚度要求,即将其变形束缚在必定的范围内。 为此,有必要剖析和核算梁的变形。 为此,有必要剖析和核算梁的变形。 另一方面,某些机械零件或部件, 另一方面, 某些机械零件或部件, 则要求有较大的 变形,以削减机械作业时所发生的振荡。 变形 ,以削减机械作业时所发生的振荡。 轿车中的钣簧 即为一例。这种景象下也需求研讨变形。 即为一例。这种景象下也需求研讨变形。 此外,求解静不定梁, 此外,求解静不定梁,也有必要考虑梁的变形以树立补 充方程。 充方程。 梁的位移剖析与刚度问题 本章将在上一章得到的曲率公式的基础上, 本章将在上一章得到的曲率公式的基础上, 树立梁的挠度曲线微分方程; 树立梁的挠度曲线微分方程;从而使用微分方 程的积分以及相应的边界条件确认挠度曲线方 在此基础上, 程。 在此基础上,介绍工程上常用的核算梁变 形的叠加法。此外, 形的叠加法。 此外,还将评论简略的静不定梁 的求解问题。 的求解问题。 梁的位移剖析与刚度问题 梁的变形与梁的位移 梁的小挠度微分方程及其积分 叠加法确认梁的挠度与转角 梁的刚度问题 简略的静不定梁 定论与评论 梁的曲率与位移 在平面曲折的景象下, 在平面曲折的景象下,梁上的恣意微段的两横 截面绕中性轴彼此转过一视点, 截面绕中性轴彼此转过一视点,从而使梁的轴线弯 曲成平面曲线,这一曲线称为梁的挠度曲线 (deflection curve)。 ) 梁的曲率与位移 依据上一章所得到 的成果, 的成果 , 弹性范围内的挠 度曲线在一点的曲率与这 一点处横截面上的弯矩、 一点处横截面上的弯矩 、 曲折刚度之间存在下列关 系: M = ρ EI 1 挠度与转角的彼此联系 梁在曲折变形后, 梁在曲折变形后,横截面的 方位将发生改动, 方位将发生改动,这种方位的 displacement)。 改 变 称 为 位 移 ( displacement)。 梁的位移包含三个部分: 梁的位移包含三个部分: 横截面形心处的铅垂位移,称为挠度 表明; (deflection),用w表明; ) 表明 变形后的横截面相关于变形前方位绕中性轴转过的 转角( 表明; 视点,称为转角 ) 视点,称为转角(slope)用θ表明; 横截面形心沿水平方向的位移,称为轴向位移或 横截面形心沿水平方向的位移,称为轴向位移或水平 轴向位移 位移( 表明。 位移(horizontal displacement),用u表明。 ) 表明 挠度与转角的彼此联系 在小变形景象下, 上述位移中, 水平位移u与挠度 与挠度w 在小变形景象下 , 上述位移中 , 水平位移 与挠度 相比为高阶小量,故一般不予考虑。 相比为高阶小量,故一般不予考虑。 坐标系中, 在 Oxw坐标系中, 挠度与转角 坐标系中 存在下列联系: 存在下列联系: dw = tanθ dx 在小变形条件下,挠曲线较为 在小变形条件下, 平整,即θ很小,因而上式中 tanθ≈θ。所以有 dw =θ dx w= w(x),称为挠度方程(deflection equation)。 = ( ),称为挠度方程( ),称为挠度方程 )。 梁的位移剖析的工程含义 位移剖析中所触及的梁的变形和位移, 位移剖析中所触及的梁的变形和位移 , 都是弹性的。虽然变形和位移都是弹性的, 都是弹性的。虽然变形和位移都是弹性的, 工程规划中, 工程规划中,关于结构或构件的弹性位移都 有必定的束缚。弹性位移过大, 有必定的束缚。弹性位移过大,也会使结构 或构件损失正常功用,即发生刚度失效。 或构件损失正常功用,即发生刚度失效。 梁的位移剖析的工程含义 机械传动组织中的齿轮轴,当 机械传动组织中的齿轮轴, 变形过大时(图中虚线所示 图中虚线所示), 变形过大时 图中虚线所示 , 两齿 轮的啮合处将发生较大的挠度和转 角 , 这不只会影响两个齿轮之间的 啮合,致使不能正常作业。 啮合,致使不能正常作业。 一起, 还会加大齿轮磨损, 一起将在滚动的 一起 , 还会加大齿轮磨损 , 过程中发生很大的噪声。 过程中发生很大的噪声。 此外, 当轴的变形很大使, 轴在支承处也将 此外, 当轴的变形很大使 , 发生较大的转角, 发生较大的转角 , 从而使轴和轴承的磨损大大增 下降轴和轴承的使用寿命。 加,下降轴和轴承的使用寿命。 梁的位移剖析的工程含义 工程规划中还有别的一类问题, 工程规划中还有别的一类问题 , 所考虑 的不是束缚构件的弹性位移, 的不是束缚构件的弹性位移,而是期望在构件 不发生强度失效的前提下, 不发生强度失效的前提下,尽量发生较大的弹 性位移。例如,各种车辆中用于减振的板簧, 性位移。例如,各种车辆中用于减振的板簧, 都是选用厚度不大的板条叠合而成, 都是选用厚度不大的板条叠合而成,选用这种 结构,板簧既能够接受很大的力而不发生损坏, 结构,板簧既能够接受很大的力而不发生损坏, 一起又能接受较大的弹性变形, 一起又能接受较大的弹性变形,吸收车辆遭到 振荡和冲击时发生的动能, 振荡和冲击时发生的动能,遭到抗振和抗冲击 的效果。 的效果。 小挠度微分方程 力学中的曲率公式 M = ρ EI 1 d2 w dx2 ? ? dw ? 1+ ? ? ? ? dx ? ? ? 2 1 数学中的曲率公式 ρ = ? ? ? ? 3 2 小挠度微分方程 小挠度景象下 ? dw ? ? ? ? dx ? 2 ? 0 1 ρ = d2w dx2 ? ? dw ? 1+ ? ? ? dx ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 2 d2 w M =± 2 EI dx 弹性曲线的小挠度微分方程,式中的正负号与w坐 弹性曲线的小挠度微分方程,式中的正负号与w 标的取向有关。 标的取向有关。 小挠度微分方程 d2 w 0, M 0 2 dx d2 w 0, M 0 2 dx d w M = 2 EI dx 本书选用向下的w坐标系, 本书选用向下的 坐标系,有 坐标系 2 d2 w M =? 2 EI dx d w M =? 2 EI dx 2 小挠度微分方程 d2 w M =? 2 EI dx 关于等截面梁,使用确认弯矩方程的办法,写出弯 关于等截面梁,使用确认弯矩方程的办法, 矩方程M 代入上式后,别离对x作不定积分, 矩方程M(x),代入上式后,别离对x作不定积分,得到包 含积分常数的挠度方程与转角方程: 含积分常数的挠度方程与转角方程: M ( x) dw dx + C = θ = ?∫ dx EI l ? M(x) ? w = ∫ ?? ∫ dx?dx + Cx + D ? ? EI l? l ? 其间C 其间C、D为积分常数。 为积分常数。 小挠度微分方程的积分与积分常数的确认 积分法中常数由梁的束缚条件与接连条件确认。 积分法中常数由梁的束缚条件与接连条件确认。 束缚条件是指束缚关于挠度和转角的束缚: 束缚条件是指束缚关于挠度和转角的束缚: 在固定铰支座和辊轴支座处, 在固定铰支座和辊轴支座处,束缚条件为挠 度等于零: 度等于零:w=0; 在固定端处,束缚条件为挠度和转角都等于零: 在固定端处,束缚条件为挠度和转角都等于零: w=0,θ=0。 接连条件是指,梁在弹性范围内加载, 接连条件是指,梁在弹性范围内加载,其轴线将 曲折成一条接连润滑曲线,因而,在会集力、 曲折成一条接连润滑曲线,因而,在会集力、会集力 偶以及散布载荷接连处,两边的挠度、转角对应持平: 偶以及散布载荷接连处,两边的挠度、转角对应持平: w1= w2,θ1=θ2等等。 等等。 小挠度微分方程的积分与积分常数的确认 P C A B P D C 支点位移条件: 支点位移条件: w A = 0, wB = 0 接连条件: 接连条件: w C ? 润滑条件: 润滑条件: θ C ? wD = 0,θ D = 0 = wC+ = θ C + w C? = w C+ 或写成θ C 左 = θ C 右 小挠度微分方程的积分与积分常数的确认 适用于小变形情况下、线弹性资料、细长构件平面曲折。 适用于小变形情况下、线弹性资料、细长构件平面曲折。 可使用于求解接受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 可使用于求解接受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几许相容条件(边界条件、 积分常数由挠曲线变形的几许相容条件(边界条件、接连 条件)确认。 条件)确认。 长处:使用范围广,直接求出较准确; 缺陷:核算较繁。 长处:使用范围广,直接求出较准确; 缺陷:核算较繁。 例 题 已知:左端固定右端 已知: 自在的悬臂梁接受均布 载荷。 载荷。均布载荷集度为q , 梁的曲折刚度为EI 、长 均已知。 度为l。q、EI 、l均已知。 求:梁的曲折挠度与转角方程, 梁的曲折挠度与转角方程, 以及最大挠度和最大转角。 以及最大挠度和最大转角。 例 题 O w 解:1.树立Oxw坐标系 树立Oxw坐标系 x 树立Oxw坐标系如图所示。 坐标系如图所示。 树立 坐标系如图所示 因为梁上效果有接连散布载荷, 因为梁上效果有接连散布载荷, 所以在梁的全长上, 所以在梁的全长上,弯矩能够用 一个函数描绘,即无需分段。 一个函数描绘,即无需分段。 2.树立梁的弯矩方程 例 题 解:2.树立梁的弯矩方程 从坐标为x的恣意 从坐标为 的恣意 截面处截开, 截面处截开,因为固定 端有两个束缚力, 端有两个束缚力,考虑 截面左边平衡时, 截面左边平衡时,树立 的弯矩方程比较杂乱, 的弯矩方程比较杂乱, 所以考虑右侧部分的平 得到弯矩方程: 衡,得到弯矩方程: x M(x) FQ(x) 1 2 M (x) = ? q ( l ? x) 2 (0 ≤ x ≤ l) 将上述弯矩方程代入小挠度 3. 树立微分方程并积分 微分方程, 微分方程,得 1 2 EIw = ?M = q ( l ? x) 2 例 题 3. 树立微分方程并积分 1 2 EIw = ?M = q ( l ? x) 2 积分后, 积分后,得到 1 3 EIw = EIθ = ? q ( l ? x) + C 6 1 4 EIw = q ( l ? x) + Cx + D 24 例 题 1 3 EIw = EIθ = ? q ( l ? x) + C 6 1 4 EIw = q ( l ? x) + Cx + D 24 解: 4. 使用束缚条件确认积分常数 固定端处的束缚条件为: 固定端处的束缚条件为: dw x = 0,θ = =0 x = 0,w = 0 dx ql 3 C= , 6 ql 3 D=? 24 例 题 解: 5. 确认挠度与转角方程 q ? 4 w= ( l ? x) + 4l3x ? l4 ? ? 24EI ? q ? 3 θ =? ( l ? x) ? l 3 ? ? 6EI 6EI ? 解: 6. 确认最大挠度与最大转角 从挠度曲线能够看出,悬臂梁在自在端处,挠度 从挠度曲线能够看出,悬臂梁在自在端处, 和转角均最大值。 和转角均最大值。 所以, 所以,将 x = l,别离代入挠度方程与转角方程, ,别离代入挠度方程与转角方程, 得到: 得到: ql 4 ql3 wmax = wB = θmax = θB = 6EI 8EI 例 题 已知:简支梁受力如图示。 已知:简支梁受力如图示。 均为已知。 FP、EI、l均为已知。 求:加力点B的挠度和 处的转角。 支承A、C处的转角。 例 题 解:1. 确认梁束缚力 2. 分段树立梁的弯矩方程 所以,AB和BC两段的弯矩方程别离为 所以, 和 两段的弯矩方程别离为 AB段 AB段 3 M1 ( x) = FP x 4 l? ? ?0 ≤ x ≤ 4 ? ? ? ?l ? ≤ x ≤l? ?4 ? ? BC段 BC段 3 l? ? M2 ( x) = FP x-FP ? x- ? 4 4? ? 例 题 解: 3. 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并别离积分 d2w 3 1 EI = ?M1 ( x) = ? FP x dx2 4 l? ? 0≤ x≤ ? ? 4? ? ?l ? ≤ x ≤l? ?4 ? ? 2 d2w2 3 l? ? EI =-M2 ( x) =- FP x+FP ? x- ? dx2 4 4? ? 积分后, 积分后,得 EIθ1 = ? 3 FP x 2 + C1 8 3 1 ? l? EIθ 2=- FP x 2+ FP ? x- ? + C2 8 2 ? 4? 1 1 ? l? EIw2=- FP x3+ FP ? x- ? + C2 x + D2 8 6 ? 4? 3 1 EIw1 = ? FP x3 + C1x + D1 8 其间, 为积分常数, 其间,C1、D1、C2、D2为积分常数,由支承处的束缚条 件和AB段与 段梁交界处的接连条件确认确认。 段与BC段梁交界处的接连条件确认确认 件和 段与 段梁交界处的接连条件确认确认。 例 题 解: 4. 使用束缚条件和 接连条件确认积分常数 在支座A C两处挠度应为零 两处挠度应为零, 在支座A、C两处挠度应为零,即 x=0, w1=0; x=l, w2=0 = , =, 因为,梁曲折后的轴线应为接连润滑曲线,所以 因为,梁曲折后的轴线应为接连润滑曲线,所以AB 段与BC段梁交界处的挠度和转角有必要别离持平 段梁交界处的挠度和转角有必要别离持平: 段与 段梁交界处的挠度和转角有必要别离持平: x=l/4, w1=w2 ; x=l/4,θ1=θ2 = , = , 例 题 解: 4. 使用束缚条件和 接连条件确认积分常数 3 EIθ1 = ? FP x 2 + C1 8 1 EIw1 = ? FP x3 + C1x + D1 8 3 1 ? l? EIθ 2=- FP x 2+ FP ? x- ? + C2 8 2 ? 4? 1 1 ? l? EIw2=- FP x3+ FP ? x- ? + C2 x + D2 8 6 ? 4? 3 2 x=0, w1=0; x=l, w2=0 = , =, x=l/4, w1=w2 ; x=l/4,θ1=θ2 = , = , D1=D2 =0 7 C1 C2 = = FPl 2 128 例 题 解: 5. 确认转角方程和挠度 方程以及指定横截面的挠度与 转角 将所得的积分常数代入后, 将所得的积分常数代入后 得到梁的转角和挠度方程为: 得到梁的转角和挠度方程为: AB段 AB段 BC段 BC段 θ ( x) = FP ? 3 2 7 2 ? l ? ?? x + EI ? 8 128 ? w(x) = FP ? 1 3 7 2 ? l x? ?? x + EI ? 8 128 ? 2 FP ? 3 2 1 ? l? 7 2? θ ( x) = ?? x + ? x ? ? + l ? EI ? 8 2? 4 ? 128 ? ? ? 3 FP ? 1 3 1 ? 7 2 ? l? w(x) = l x? ?? x + ? x ? ? + 6? 4 ? 128 ? EI ? 8 ? ? 据此,能够算得加力点 处的挠度和支承处 处的挠度和支承处A和 的转 据此,能够算得加力点B处的挠度和支承处 和C的转 角别离为 3 2 3 FPl wB = 256 EI 7 FPl 2 θA = 128 EI θB =- 5 FPl 128 EI 积分法小结 确认束缚力, g 确认束缚力,判别是否需求分段以及分几段 g 分段写出弯矩方程 g 分段树立挠度微分方程 g 微分方程的积分 g 使用束缚条件和接连条件确认积分常数 确认挠度与转角方程以及指定截面的挠度 g 确认挠度与转角方程以及指定截面的挠度 与转角 叠加法确认梁的挠度与转角 在许多的工程核算手册中, 在许多的工程核算手册中 , 已将各种支承条件下 的静定梁, 的静定梁 , 在各种典型载荷效果下的挠度和转角表达 式逐个列出,简称为挠度表。 式逐个列出,简称为挠度表。 依据杆件变形后其轴线为一润滑接连曲线和位移 是杆件变形累加的成果这两个重要概念, 是杆件变形累加的成果这两个重要概念, 以及在小变 形条件下的力的独立效果原理,选用叠加法 method) ( superposition method) 由现有的挠度表能够得到 在许多杂乱景象下梁的位移。 在许多杂乱景象下梁的位移。 叠加法使用于多个载荷效果的景象 当梁上受有几种不同的载荷效果时, 当梁上受有几种不同的载荷效果时,都能够将 其分化为各种载荷独自效果的景象, 其分化为各种载荷独自效果的景象,由挠度表查得 这些景象下的挠度和转角,再将所得成果叠加后, 这些景象下的挠度和转角,再将所得成果叠加后, 便得到几种载荷一起效果的成果。 便得到几种载荷一起效果的成果。 叠加法使用于多个载荷效果的景象 例题 已知: 已知:简支梁受 力如图示, 力如图示,q、l、 EI均为已知。 均为已知。 均为已知 求:C截面的挠度 截面的挠度 wC ;B截面的转 截面的转 角θB 例题 解:1.将梁上的载荷 . 变为3种简略的景象 种简略的景象。 变为 种简略的景象。 wC = wC1 + wC2 + wC3 θB =θB1 +θB2 +θB3 例题 解:2.由挠度表查得 种 .由挠度表查得3种 景象下C截面的挠度 截面的挠度; 截 景象下 截面的挠度;B截 面的转角。 5 ql 4 wC1 = , 384 EI 1 ql 4 wC2 = , 48 EI 1 ql 4 wC3 = ? 16 EI 1 ql 3 θ B1 = ? , 24 EI 1 ql 3 , θ B2 = ? 16 EI 1 ql 3 θ B3 = , 3 EI 例题 解:3. 使用叠加法,将简略 使用叠加法, 载荷效果时的成果别离叠加 将上述成果按代数值相 别离得到梁C截面的挠 加,别离得到梁 截面的挠 度和支座B处的转角 处的转角: 度和支座 处的转角: 11 ql 4 wC = ∑wCi = ? , 384 EI i=1 3 θ B = ∑θ Bi i =1 3 11 ql 3 = 48 EI 叠加法使用于接连性散布载荷效果的景象 关于接连性散布载荷效果的景象,依据受力与约 关于接连性散布载荷效果的景象, 束等效的要求,能够将接连性散布载荷, 束等效的要求,能够将接连性散布载荷,变为梁全长 上接连散布载荷,然后在本来没有散布载荷的梁段上, 上接连散布载荷,然后在本来没有散布载荷的梁段上, 加上集度相同但方向相反的散布载荷, 加上集度相同但方向相反的散布载荷,最终使用叠加 法。 例题 已知: 已知:悬臂梁受 力如图示, 力如图示,q、l、 EI均为已知。 均为已知。 均为已知 求:C截面的挠 截面的挠 度和转角 转角w 度和转角 C 和θC 例题 解:1. 首要,将梁上的载 . 首要, 荷变成有表可查的景象 为使用挠度表中关于梁全长接受均布载荷的计 算成果,核算自在端C处的挠度和转角 处的挠度和转角, 算成果,核算自在端 处的挠度和转角,先将均布 载荷延伸至梁的全长, 载荷延伸至梁的全长,为了不改动本来载荷效果的 效果, 段还需再加上集度相同、 效果,在AB段还需再加上集度相同、方向相反的 段还需再加上集度相同 均布载荷。 均布载荷。 例题 解:2.再将处理后的梁分化 为简略载荷效果的景象, 为简略载荷效果的景象,核算 各个简略载荷引起挠度和转角。 各个简略载荷引起挠度和转角。 两种景象下自在端的挠度和 转角别离为 1 ql 4 wC1 = , 8 EI l 1 ql 4 1 ql3 l wC2 = wB2 +θB2 × = ? ? × , 2 128 EI 48 EI 2 1 ql 3 θC1 = , 6 EI 1 ql 3 θC 2 = ? 48 EI 例题 解:3.将简略载荷效果的 成果叠加 41 ql 4 wC= wCi = , ∑ 384 EI i=1 2 7 ql 3 θC = ∑θCi = 48 EI i=1 2 结构方式叠加(逐段刚化法) 结构方式叠加(逐段刚化法) L1 A f L1 A 刚化AC段 刚化 段C L2 C f P B x f = f1 + f 2 L2 P Bx f1 P L2 C f f2 M B x = L2 P 等价 B f L2 P 等价 B 刚化BC段 刚化 段 C L1 A + L1 A C 例题 下图为一空心圆杆,内外径别离为: 下图为一空心圆杆,内外径别离为:d=40mm、D=80mm, 、 , 点的转角与挠度。 杆的E=210GPa,求C点的转角与挠度。 , L=400mm A D B a=0.1m P C A D B P2 C = 200mm P1=1kN A D B P2=2kN C P1=1kN A D B = + a B P2 P2 B M C C + C P2=2kN A D 例题 L=400mm a=0.1m P 结构改换, 解:1 结构改换,查表求简略 B Cx 载荷变形。 载荷变形。 P2=2kN C A D 200mm P1=1kN f A 图1 θ 1B = P1 L 2 D B 16 EI PL2a f1C =θ1Ba= 1 16EI P2 a 3 f 2 C =? 3 EI = + + a P1=1kN B θ 2 B =0 C P2 图2 θ 3B =? ML LaP 2 =? 3 EI 3 EI 2 + P2 M A 图3 D B C P2 La f 3 C =θ 3 B a = ? 3 EI 例题 L=400mm A D B a=0.1m P 叠加求杂乱载荷下的变形 C x f A 200mm P1=1kN P2=2kN P L2 P2 La θB= 1 ? 16 EI 3EI D 图1 B C P L2 a P2 a 3 P2 a 2 L fC = 1 ? ? 16EI 3EI 3EI = + + a C P2 P1=1kN B I= π 图2 P2 A 图3 M C 64 3.14 4 = (80 ?40 4 )×10 ?12 64 =188×10 ?8 m 4 ( D 4 ?d 4 ) + D B 例题 核算成果 P L2 P2 La 0.4 400 200 1 θB = ? = × ) ( ? )=?0.423 10?4 (弧度 16EI 3EI 210 1880 16 3 × P1 L2 a P2 a 3 P2 a 2 L fC = ? ? = ? 5 . 19×10 ? 6 m 16 EI 3 EI 3 EI 刚度核算的工程含义 关于首要接受曲折的梁和轴,挠度和转角过大会影响 关于首要接受曲折的梁和轴, 构件或零件的正常作业。 构件或零件的正常作业。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮 的啮合,或添加齿轮的磨损并发生噪声; 的啮合,或添加齿轮的磨损并发生噪声;机床主轴的挠度过 大会影响加工精度; 大会影响加工精度;由轴承支承的轴在支承处的转角假如过 大会添加轴承的磨损等等。 大会添加轴承的磨损等等。 梁的刚度条件 梁的刚度条件 关于首要接受曲折的零件和构件, 关于首要接受曲折的零件和构件,刚度规划便是 依据对零件和构件的不同工艺要求, 依据对零件和构件的不同工艺要求,将最大挠度和转 或许指定截面处的挠度和转角)束缚在必定范围内, 角(或许指定截面处的挠度和转角)束缚在必定范围内, 即满意曲折刚度条件: 即满意曲折刚度条件: θmax ≤ [θ ] wmax ≤ [w] 上述二式中[ 上述二式中[w]和[θ]别离称为许用挠度和许用转角,均 别离称为许用挠度和许用转角, 依据关于不同零件或构件的工艺要求而确认。 依据关于不同零件或构件的工艺要求而确认。 例题 B 已知:钢制圆轴,左端受力为FP,FP=20 kN,a=l m, 已知:钢制圆轴,左端受力为 , = , l=2 m,E=206 GPa,其他尺度如图所示。规则轴承 处 = , ,其他尺度如图所示。规则轴承B处 的许用转角[ ] 的许用转角[θ] =0.5°。 ° 试:依据刚度要求确认该轴的直径d。 依据刚度要求确认该轴的直径 。 例题 B 解:依据要求,所规划的轴直径有必要使轴具有足 依据要求, 够的刚度,以确保轴承B处的转角不超越许用数值 处的转角不超越许用数值。 够的刚度,以确保轴承 处的转角不超越许用数值。 为此,需按下列过程核算。 为此,需按下列过程核算。 1.查表确认B处的转角 由挠度表中查得接受会集载荷的外伸梁B处的转角 由挠度表中查得接受会集载荷的外伸梁 处的转角 为 FPla θ B=- 3EI 例题 2.依据刚度规划原则确认轴的直径 依据规划要求, FPla θ B=- 3EI θB ≤ [θ ] 的单位为rad( 弧度 ) , 而 [ θ] 的单位为 ( ° ) 其间 , θ 的单位为 ( 弧度) ] 考虑到单位的一致性,将有关数据代入后, (度),考虑到单位的一致性,将有关数据代入后,得到 轴的直径 64 × 20 ×1× 2 ×180 ×103 d ≥4 m = 111×10-3 m = 111mm 3×π× 206 × 0.5×109 简略的静不定梁 剩余束缚与静不定次数 静定问题与静定结构——不知道力 内力或外力) 静定问题与静定结构——不知道力(内力或外力)个数 不知道力( 等于独立的平衡方程数 静不定问题与静不定结构——不知道力个数多于独立 静不定问题与静不定结构——不知道力个数多于独立 的平衡方程数 静不定次数——不知道力个数与独立平衡方程数之差 静不定次数——不知道力个数与独立平衡方程数之差 剩余束缚——坚持结构静定 剩余束缚——坚持结构静定剩余的束缚 坚持结构静定剩余的束缚 求解静不定问题的根本办法 依据以上剖析,求解静不定问题.除了平衡方程 依据以上剖析,求解静不定问题. 还需求依据剩余束缚对位移或变形的束缚, 外,还需求依据剩余束缚对位移或变形的束缚,树立 各部分位移或变形之间的几许联系,即树立几许方程, 各部分位移或变形之间的几许联系,即树立几许方程, 称为变形和谐方程( 称为变形和谐方程(compatibility equation),并树立 力与位移或变形之间的物理联系, 力与位移或变形之间的物理联系,即物理方程或称本 构方程( )。将这二者联立才干 构方程(constitutive equations)。将这二者联立才干 找到求解静不定问题所需的弥补方程。 找到求解静不定问题所需的弥补方程。 可见,求解静不定问题,需求归纳调查结构的平衡、 可见,求解静不定问题,需求归纳调查结构的平衡、 变形和谐与物理等三方面, 变形和谐与物理等三方面,这便是求解静不定问题的根本 办法。 章中剖析正应力的办法是类似的。 办法。这与第8章中剖析正应力的办法是类似的。 剩余束缚与静不定次数 MA FAx A FAy MA FAx A FAy B B 3-3=0 4-3=1 FB 剩余束缚与静不定次数 MA B FBx FAx A FAy MA FAx A FAy l FBy l FBy MB FBx B 5-3=2 6-3=3 使用小变形概念能够推知某些不知道量 MA B FBx FAx A FAy l FBy 因为在小变形条件下,梁的轴向位移忽略不计,静 因为在小变形条件下,梁的轴向位移忽略不计, 定梁自在端B处水平位移u=0。已然u=0, 定梁自在端B处水平位移u=0。已然u=0,在没有轴向载 荷效果的景象下, 荷效果的景象下,固定铰支座和固定端处便不会发生水 平束缚力, 0。因而, 平束缚力,即FAx =FBx= 0。因而,求解这种静不定问题 只需1个弥补方程。 只需1个弥补方程。能够写出变形和谐方程为 wB = wB (q) + wB (FBy ) = 0 使用对称性剖析能够推知某些不知道量 MA FAx A FAy l FBy MB FBx B 关于两头固定的梁,相同有FBx=0,但这时的剩余束缚力除 关于两头固定的梁,相同有F =0, FBy外,又添加了MB。所以需求两个弥补方程。可是,使用对 又添加了M 所以需求两个弥补方程。可是, 称性剖析,这种梁不只结构和束缚都对称, 称性剖析,这种梁不只结构和束缚都对称,并且外加载荷也 是对称的,即梁的中心截面为对称面。所以能够确认: 是对称的,即梁的中心截面为对称面。所以能够确认: FAx= FBx= 0, FAy= FBy= q l / 2 , MA=MB 与不知道力偶M 对应的束缚是对截面B转角的束缚, 与不知道力偶MB对应的束缚是对截面B转角的束缚,故这种 景象下的变形和谐方程为 θ B (M B ) +θ B (q) +θ B (FBy ) = 0 例题 MA B FBx FAx A FAy l FBy 已知:A端固定、B端铰支梁的曲折刚度为EI、 已知: 端固定、 长度为l 求: 梁的束缚力 解:1、平衡方程: 平衡方程: MA+FByl-ql/2=0 FAx=0 FAy+FBy - ql=0 例题 MA B FAx A FAy MA FAx A FAy l B l 2、变形和谐方程: 变形和谐方程: wB=wB(q)+wB(FBy)=0 3、物性联系: 物性联系: wB(q)=ql4/8EI )=ql /8EI wB(FBy)= - Fbyl 3 /3EI /3EI wB(q) wB(FBy) FB 例题 解:4、归纳求解 MA B FBx FAx A FAy l FBy FAx=0 FAy+FBy - ql=0 MA+FByl-ql/2=0 wB=wB(q)+wB(FBy)=0 wB(q)=ql4/8EI wB(FBy)= - Fbyl 3 /3EI 由平衡方程、变形和谐方程、物性联系联立解出: 由平衡方程、变形和谐方程、物性联系联立解出: FAx=0 , FAy =5ql /8 , /8 FBy =3ql /8 MA= ql 2/8 /8 , 例题 C EA LBC q0 x B RB q0 A EI 结构如图, 结构如图,求B点反力。 点反力。 解: 建立根本静定梁 几许方程 变形和谐方程: 变形和谐方程: A f L = L = B RB + f B = f Bq + f BR B = ? L BC q0 A B A B RB 例题 C 物理方程:变形与力的联系 物理方程: EA LBC qL4 R B L3 f Bq= ; f BR = ? q0 8 EI 3 EI x RB LBC B ?LBC = RB EA B A f A L = 弥补方程 B RB q0 B qL 4 R B L 3 R B L BC ? = 8 EI 3 EI EA ∴R B = qL 4 L BC L3 8I ( + ) A 3 EI + A 求解其它问题(反力、应力、 求解其它问题(反力、应力、变 形等) 形等) 定论与评论 关于变形和位移的相依联系 二梁的受力(包含载荷与束缚力)是否相同? 二梁的受力(包含载荷与束缚力)是否相同? 二梁的弯矩是否相同? 二梁的弯矩是否相同? 二梁的变形是否相同? 二梁的变形是否相同? 二梁的位移是否相同? 二梁的位移是否相同? 定论与评论 关于变形和位移的相依联系 FP A B C BC段有没有变形?有没有位移? BC段有没有变形?有没有位移?没有变形为什 段有没有变形 么会有位移? 么会有位移? 整体变形是微段变形累加的成果; 整体变形是微段变形累加的成果; 有位移不必定有变形。 有位移不必定有变形。 定论与评论 关于梁的接连润滑曲线 由M 的方向确认轴线的凹凸性; 的方向确认轴线的凹凸性; 由束缚性质及接连润滑性确认挠曲线的大致 形状及方位。 形状及方位。 定论与评论 关于梁的接连润滑曲线 定论与评论 关于梁的接连润滑曲线 定论与评论 关于梁的接连润滑曲线 定论与评论 关于梁的接连润滑曲线 试依据接连润滑性质以及束缚条件,画出梁 试依据接连润滑性质以及束缚条件, 的挠度曲线的大致形状 定论与评论 关于梁的接连润滑曲线 判别挠度中点巨细, 判别挠度中点巨细,决议挠曲线的大致形状 定论与评论 进步刚度的途径 进步梁的刚度首要是指减小梁的弹性位移。 进步梁的刚度首要是指减小梁的弹性位移。 而弹性位移不只与载荷有关, 而弹性位移不只与载荷有关,并且与杆长和梁的 有关。 曲折刚度( 曲折刚度(EI)有关。 关于梁,其长度对弹性位移影响较大,例如对 关于梁,其长度对弹性位移影响较大, 于会集力效果的景象, 于会集力效果的景象,挠度与梁长的三次方量级 成份额;转角则与梁长的二次方量级成份额。 成份额;转角则与梁长的二次方量级成份额。 因而, 因而,减小弹性位移除了选用合理的截面形状以 添加惯性矩I 外,首要是减小梁的长度l,当梁的长 度无法减小时,则可添加中心支座。 度无法减小时,则可添加中心支座。 定论与评论 进步刚度的途径: 进步刚度的途径:添加中心支座 因而, 因而,减小弹性位移除了选用合理的截面形状以增 加惯性矩I 外,首要是减小梁的长度l,当梁的长度无 法减小时,则可添加中心支座。 法减小时,则可添加中心支座。 例如在车床上加工较长的工件时,为了减小切削 例如在车床上加工较长的工件时, 力引起的挠度,以进步加工精度, 力引起的挠度,以进步加工精度,可在卡盘与尾架之 间再添加一个中心支架


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